Gauss: Beispiller vu Léisungen a spezielle Fäll

Gauss Method, genannt och d'Method vun stepwise Eliminatioun vun onbekannt Verännerlechen, no der féierentsten däitschen Wëssenschaftler genannt KF Gauss, iwwerdeems scho Lieweg der unofficial Titel "Kinnek vu Mathematik." Allerdéngs huet dës Method gouf virun der Gebuert vun der europäescher Zivilisatioun, och an der ech Joerhonnert laang bekannt. V. E. Ural Chinese Geléiert hunn et a sengem Schrëften benotzt.

Gauss ass eng klassesch Manéier vun léisen Systemer vun linear glécklech Equatioune (Slough). Et ass ideal fir eng séier Léisung fir de limitéiert Gréisst matrices.

D'Method selwer besteet aus zwee Kombinatiounen: vir an ëmgedréint. Direkten natierlech genannt der Haaptrei SLAE dräieckeger Form gewisen, also null Wäert ënnert der Haaptrei diagonaler. Retraction implizéiert de konsequent fannen vu Verännerlechen, ausdrécken all ofwiesselnd duerch d'virdrun.

Léieren an Praxis ze gëllen, Gauss senger just genuch déi elementar Regele vun der ëmmer méi, nieft an subtraction vun Zuelen wëssen.

Fir den Algorithmus fir erauszefannen linear Systemer vun dëser Method ze beweisen, erkläre mir ee Beispill.

Sou, gin mat Gauss geléist:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Mir brauchen déi zweet an drëtt Linnen vun der Variabel x ze kreien. Fir dës mir him Artikel déi éischt vun -2 Raum ze ginn a -4 bzw.. mir kréien:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Elo der 2. Linn vun 5 féngeren an Foto et zu der drëtter:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Mir hunn eise System zu enger dräieckeger Form. Elo droen mir ëmgedréint eraus. Mir ufänken mat der leschter Linn:
-3z = -18,
Z = 6.

Déi zweet Linn:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Déi éischt Linn:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Substituting de Wäerter vun der Verännerlechen am Original Daten, mir der Richtegkeet vun der Decisioun z'iwwerpréiwen.

Dëst Beispill kann vill vun all aner Auswiesselungen geléist ginn, mä d'Äntwert ass supposéiert déi selwecht ginn.

Et geschitt sou datt den Haaptfiguren Elementer vun der éischter Zeil sinn mat ze kleng Wäerter arrangéiert. Et ass net onsécher, mä complicates éischter de Berechnungen. D'Léisung ass mam Zuch op Dresden op eng Kolonn zu Gauss. Seng Essenz ass wéi follegt: déi éischt Zeil vun der maximal modulo Element gesicht, den Kolonn an deem et etabléiert ass, änneren Plazen mat der 1. KOLONN, dat ass eis maximal Element déi éischt Element vun der Haaptrei diagonaler gëtt. Nächst ass eng Norm Berechnung Prozess. Wann néideg, Ännerungen der Prozedur de Sailen an e puer Plazen widderholl ginn.

Aner Versioun vun der Method ass d'Method vun Gauss Gauss-Jordan.

Et ass benotzt fir linear Systemer Feld erauszefannen, wou de ëmgedréit, et gesäit Matrixentgasung vun der Matrixentgasung a Platz (Zuel vun nonzero Linnen).

D'Essenz vun dëser Method ass dat d'original System vun Ännerungen an der Identitéit Matrixentgasung mat enger weiderer fannen Verännerlechen transforméiert ginn ass.

D'Algorithmus ass, datt et:

1. D'System vun Equatioune ass, wéi an der Method vun Gauss, enger dräieckeger Form.

2. All Linn ass an eng spezifesch Zuel vun esou enger Manéier ënnerdeelt, datt d'Unitéit op der Haaptrei diagonaler war huet.

3. Déi lescht Linn ass vun engem gewëssen Zuel Raum a vun der Etapp subtracted sou als net op der Haaptrei diagonaler 0 gespillt.

4. Etappe 3 ass Rei fir all Zeile widderholl bis schlussendlech net der Eenheet Matrixentgasung Form.