D'Theorie vun Probabilitéit. Wahrscheinlechkeet vun engem Evenement, heiansdo Evenement (Probabilitéit Theorie). Onofhängeg an inkompatibel Entwécklungen an der Theorie vun Wahrscheinlechkeet

Et ass onwahrscheinlech, datt vill Leit mengen et méiglech ass Evenementer ze zielen, déi a gewesser Mooss versehentlech. Fir et an einfachen Wierder Mëtt duerchgesat huet, ass et realistesch wëssen déi Säit vun der drëtter Potenz vun der Wierfel nächst Kéier wäert falen. Et war dës Fro zwou grouss Wëssenschaftler ze froen, geluecht der Fondatioun fir dës Wëssenschaft, der Theorie vun Wahrscheinlechkeet, d'Probabilitéit vun der Manifestatioun an deem d'extensiv genuch studéiert.

Generatioun

Wann Dir probéiert esou e Konzept, wéi d'Theorie vun Probabilitéit ze definéieren, kréien mir déi folgend: dat eent vun de Secteuren vun Mathematik ass dass d'constancy vun zoufälleg Evenementer Studien. Kloer, dat Konzept wierklech opzeweisen net d'Essenz, also muss du et am Detail ze betruecht.

Ech géif gären mat de Grënner vun der Theorie fir ufänken. Wéi war uewen ernimmt, goufen et zwee, datt Per Ferma an Blez Paskal. Si waren déi éischt mat Formelen versicht a mathematesch Berechnungen d'Resultat vun engem Evenement ze berechnen. Am Allgemengen, ass de rudiments vun dëser Wëssenschaft och am Mëttelalter. Iwwerdeems verschidde Gaullisme a Wëssenschaftler versicht hunn de Casino Spiller wéi Mammut, craps ze analyséieren, an sou op, doduerch e Muster, an de Prozentsaz Verloscht vun enger Zuel gedoe. Der Fondatioun war och am siwwenzéngten Joerhonnert geluecht et der dräi Geléiert.

Ufank, kéint hir Aarbecht net un der super Leeschtungen an dësem Beräich zougeschriwwen ginn, no all, wat se hat, waren se einfach empiresche Fakten an Experimenter kloer Formelen ouni benotzt goufen. Méi Zäit, war et super Resultater ze erreechen, deen als Resultat vun Observatioun vun de Goss vun der Schanken wossten. Et ass dëst Instrument huet gehollef d'éischt verschidde Formule ze bréngen.

Supportere

Net ze ernimmen wéi e Mann als Christiaan Huygens, am Prozess d'Thema vun studéiert, datt den Numm vun "Wahrscheinlechkeet Theorie" Bieren (Probabilitéit vun der Manifestatioun Héichpunkter et an dësem Wëssenschaft). Dës Persoun ass ganz interessant. Hien, wéi och Wëssenschaftler virun presentéiert ginn an der Form vun mathematesch Formelen probéiert e Muster vun zoufälleg Evenementer zu deduce. Et ass remarkabel dass hien net dat gemaach deelen mat Pascal an Fermat, datt all seng Aarbecht ass net mat deenen housch et iwwerlageren. Huygens ofgeleet der Basis Konzepter vun Wahrscheinlechkeet Theorie.

Eng interessant Tatsaach ass, dass seng Aarbecht virun de Resultater vun de Wierker vun Pionéier laang huet, genau ze sinn, zwanzeg Joer virdrun. Et ginn nëmmen ënnert der identifizéiert Konzepter waren:

• wéi d'Konzept vun Wahrscheinlechkeet Wäerter Chance;
• Erwaardung vun der diskret Fall;
• theorems vun Zousätzlech an ëmmer méi vun Wahrscheinlechkeeten.

Och, kann ee net vergiessen Yakoba Bernulli, deen och fir d'Etude vun de Problem bäigedroen. Duerch hir eegen, war weder vun deenen sinn onofhängeg Tester, hie konnt Beweis vum Gesetz vum groussen Zuelen ze bidden. Am Tour, Wëssenschaftler Poisson an Laplace, déi am Ufank Joerhonnerten geschafft, konnt d'Original dësen ze beweisen. Vu dass Moment Feeler am Observatiounen ze analyséieren huet mir Wahrscheinlechkeet Theorie benotzt. Partei ronderëm dës Wëssenschaft konnt net a russesch Wëssenschaftler, éischter Markov, Chebyshev an Dyapunov. Si sinn op der Aarbecht gemaach super geniuses baséiert, sécuriséierten de Sujet als Sparten vun Mathematik. Mir hunn dës Zuelen um Enn vun de Joerhonnerten, an Merci un hire Bäitrag, hunn Phänomener gouf bewisen, wéi:

• Gesetz vum groussen Nummeren;
• Theorie vun Markov Ketten;
• Der Mëtt Limite dësen.

Also, d'Geschicht vun der Gebuert vu Wëssenschaft a mat der grouss Perséinlechkeeten, déi zu et dréit, ass alles méi oder manner kloer. Elo ass et Zäit fir Fleesch aus all Fakten.

Basis Konzepter

Ier Dir d'Gesetzer an theorems upaken soll d'Basis Konzepter vun Wahrscheinlechkeet Theorie léieren. Event et ennerhält eng dominant Roll. Dëst Thema ass éischter extensiv, mä net fäheg sinn ouni et all de Rescht ze verstoen.

Event am Theorie Probabilitéit - et All Formatioun vun Resultater vun der Experimenter. Konzepter vun dësem Phänomen ass et net genuch. Also, an dësem Beräich schaffen Lotman Wëssenschaftler, huet ausgedréckt dass an dësem Fall mir iwwer schwätzen wat "geschitt ass, obwuel et net geschéien hätt."

Zoufälleg Evenementer (Probabilitéit Theorie bezilt speziell Opmierksamkeet hinnen) - ass e Konzept dat absolut keng Phänomen dass d'Méiglechkeet implizéiert ze geschéien. Oder, am Géigendeel, kann dëse Szenario net an der Leeschtungsfähegkeet vun enger Rei vu Konditiounen geschéien. Et ass och gutt ze wëssen, dass de ganze Volume vun der Phänomener geschitt just zoufälleg Evenementer gelant. Wahrscheinlechkeet Theorie seet, datt all Konditiounen permanent widderholl ginn. Et ass hir Exercice huet "Erfahrung" oder genannt ginn "Test."

Groussen Event - dat ass e Phänomen dass honnert Prozent an dësem Test ass geschitt. Anere Wierder, de onméiglech Fall - ass dat eppes wat net geschitt ass.

Puer Action (Han de Fall A a B Fall) kombinéiert ass e Phänomen, dee gläichzäiteg existeiert. Si sinn den AB Éieren.

De Montant vun Puer Evenementer A a B - C ass, an anere Wierder, wann op d'mannst ee vun hinnen ginn (A oder B), kritt Dir eng C. der Formel beschriwwen Phänomen den C = A + B. geschriwwen ass

Inkompatibel Entwécklungen an der Theorie vun Wahrscheinlechkeet erausfonnt, datt déi zwee Fäll Géigesäitegkeet exklusiv sinn. Gläichzäiteg sinn se an all Fall kann net geschéien. Gemeinsame Evenementer am Wahrscheinlechkeet Theorie - et ass hir antipode. D'deemno ass dass wann A geschitt ass, et net C. heescht preclude

Misst de Fall (Probabilitéit Theorie méngt hinnen am groussen Detail), sinn einfach ze verstoen. Et ass am beschten mat hinnen am Verglach ze këmmeren. Si sinn bal d'selwecht wéi inkompatibel Entwécklungen an der Theorie vun Probabilitéit. Mä hir Ënnerscheed ass, datt ee vun engem Majorzsystem vu Phenomener an all Fall geschéien soll.

Selwecht Chancen Evenementer - déi Aktiounen, ass d'Méiglechkeet vun Verwiesslungen gläich. Fir et kloer maachen, kann Iech virstellen eng Mënz tossing: Verloscht vun eent vu senge Säiten ass gläich eventuellen Verloscht aner.

et ass méi einfach d'Beispill vun Ëmtausch Fall ze betruecht. Ugeholl et ass eng Episod vun der Episod A. Déi éischt - eng Roll vun enger stierwen mat deer vun engem komesch Nummer, an der zweeter - d'Ausgesin vun der Zuel fënnef op der Wierfel. Da gëtt et aus, datt A Botwinnik V. ass

Onofhängeg Evenementer am Wahrscheinlechkeet Theorie si rengt nëmmen op zwee oder méi oft an Debate onofhängeg vun all liewensgeféierlecher Aktioun huet den aneren. Zum Beispill, A - bei Verloscht Schwänz Mënz tossing, an B - dostavanie Jack vum Puppis. Si hunn onofhängeg Evenementer am Wahrscheinlechkeet Theorie. Vun dësem Moment gouf et kloer.

Onselbstänneg Evenementer am Wahrscheinlechkeet Theorie ass och hire Choix nëmme fir hir Formatioun. Si musse Ofhängegkeet vun eent op déi aner, dat ass, de Phänomen vun nëmmen am Fall geschéien kann, wann A schonns ass oder, am Géigendeel, geschéie rauszesichen, wou et ass - den Haapt Konditioun fir B.

D'Resultat vun der zoufälleg Experimenter aus engem eenzege Volet - et d'Elementar- Evenementer. Wahrscheinlechkeet Theorie seet, datt et e Phänomen ass, datt nëmmen eemol geschitt ass.

Basis Formule

Sou, goufen d'virun d'Konzept vun "Event", "Wahrscheinlechkeet Theorie", Definitiounen vun Schlëssel Conditioune vun dëser Wëssenschaft als war och entscheet. Elo ass et Zäit fir schliesslich selwer mat der wichteg Formelen. Dës Ausstralung sinn mathematically all den Haaptgrond Konzepter an esou enger schwiereger Sujet wéi der Theorie vun Wahrscheinlechkeet confirméiert. Wahrscheinlechkeet vun engem event a spillt eng grouss Roll.

Besser mat der Basis Formelen vun combinatorics ufänken. An ier Dir hinnen ufänken, et ass derwäert que wat ass et.

Combinatorics - ass virun allem eng Agence vun Mathematik, huet hien eng grouss Zuel vun integers, a verschidde dohinner gehéiert souwuel den Zuelen an hir Elementer, verschidden Daten studéiert, asw ass, fir eng Rei vun Kombinatioune Virwaat ... Zousätzlech zu der Theorie vun Wahrscheinlechkeet, ass dës Industrie wichteg fir d'Statistik, Computer Wëssenschaft an cryptography.

Sou lo kënnt Dir un der Presentatioun vun selwer plënneren op an hir Definitioun Formelen.

Déi éischt vun dëse ass den Ausdrock fir d'Zuel vun net dohinner gehéiert, et ass wéi follegt:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Equatioun gëllt nëmmen am Fall, wann d'Elementer nëmmen am Optrag vun Unuerdnung ënnerscheeden.

Elo Openthalt Formule, gesäit et esou considéréiert ginn:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Dësen Ausdrock ass eventuell net nëmmen un dat eenzegt Element vun Optragserdeelung, mä och fir seng Kompositioun.

Déi drëtt Equatioun vun combinatorics, an et ass d'Pai, d'Formel fir d'Zuel vun Kombinatioune genannt:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Geschéckt genannt probéieren, déi net bestallt sinn, respektiv, bis an applizéiert dëser Regel.

Mat der Formelen vun combinatorics liicht ze verstoen ass, kënnt dir elo zu der klassescher Definitioun vu Wahrscheinlechkeet goen. Et gesäit esou Ausdrock wéi follegt:

P (A) = m: n.

Dës Formule, m - ass d'Zuel vun de Konditiounen Parteien zu Fall A, an n - Zuel vun gläich a misst all Elementar- Evenementer.

Et gi vill Ausstralung an den Artikel gëtt näischt considéréiert ginn, mee déi wichtegst déi betraff ginn wéi, zum Beispill, d'Wahrscheinlechkeet vun Evenementer Quantitéiten:

P (A + B) = P (A) + P (B) - dës dësen fir nëmmen Géigesäitegkeet exklusiv Evenementer iwwerdribblen;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - mee dat ass just fir iwwerdribblen kompatibel.

D'Wahrscheinlechkeet vun der Manifestatioun Wierker:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - dës dësen fir onofhängeg Evenementer;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - an dat fir de ofhängeg.

Opgehalen Lëscht vun Evenementer Formule. D'Theorie vun Wahrscheinlechkeet seet eis dësen Bayes, déi esou ausgesäit:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Dës Formule, H _1, H _2, ..., H _n - ass eng komplett Formatioun vun hypotheses.

Op dëser stoppen, wäert Echantillon Formelen Applikatioun elo fir spezifesch Aufgaben vun Praxis considéréiert ginn.

Beispiller

Wann Dir virsiichteg all Sparten vun Mathé studéieren, ass et net ouni regéiert a Prouf Léisungen. An der Theorie vun Wahrscheinlechkeet: Evenementer, hei Beispiller sinn en integralen Bestanddeel wëssenschaftlech Berechnungen vun confirméiert.

D'Formel fir d'Zuel vun dohinner gehéiert

Zum Beispill, an engem Géigespiller Puppis drësseg Kaarten hunn, mat dem Zweck fir eng Start. Nächst Fro. Wéivill Weeër d'Puppis zu Weeër fir datt d'Kaarte mat engem Gesiicht Wäert vun eent an zwee net nächst etabléiert waren?

D'Aufgab ass virbereet, Schwätze mer elo mat ze vill plënneren op. Éischt Dir d'Zuel vun dohinner gehéiert vun drësseg Elementer ze bestëmmen brauchen, fir dësen Zweck huelen mir de uewen Formule, et gëtt P_30 = 30!.

Baséiert op dëser Regel, mir wëssen wéivill Optiounen do sinn d'Puppis ze festzeleeën an vill Méiglechkeeten, mä mir mussen aus hinnen ofsetzen ginn sinn déi an deem éischten an zweete Géigespiller nächst ginn. Fir dëst ze maachen, fänkt mat enger Variant, wou déi éischt op der zweeter etabléiert ass. Et stellt sech eraus, datt déi éischt Kaart kann zwanzeg-néng Plazen huelen - aus der éischter op déi zwanzeg-néngten, an der zweeter Kaart vun der zweeter op déi drësseg, dréit zwanzeg néng fräi fir Puer Kaarten. Am Tour, kënnen déi aner huelen zwanzeg-aacht Plazen, an an all Commande. Dat ass, fir de Emplazéiren vun der zwanzeg-aacht Kaarten hun zwanzeg aacht Optiounen P_28 = 28!

D'Resultat ass, datt wa mir déi Décisioun betruecht, wann déi éischt Attack op der zweeter extra Geleeënheet ass 29 ⋅ 28 ze kréien! = 29!

Benotzt déi selwecht Method, braucht Dir d'Zuel vun iwwerflësseg Optiounen fir de Fall ze berechnen, wou déi éischt Attack ass ënner der zweeter etabléiert. Och 29 ⋅ 28 kritt! = 29!

Vun dësem kënnt et datt d'extra Optiounen 2 ⋅ 29!, Iwwerdeems déi noutwendeg Mëttelen vum Sammelen d'Puppis 30! - 2 ⋅ 29!. Et bleift just ze berechnen.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Elo mussen mir all vun den Zuelen féngeren zesummen aus ee bis zwanzeg-néng, an dann um Enn vun all doubelt vum 28. D'Äntwert kritt 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Beispiller vu Léisungen. D'Formel fir d'Zuel vun den Iwwernuechtungen

An dësem Problem, brauchen iech erauszefannen wéivill do sinn Manéieren de fofzéng Bänn op engem Regal ze Mëtt duerchgesat huet, mä ënnert der Konditioun, datt nëmmen drësseg Bänn.

An dëser Aufgab, d'Decisioun e bësse méi einfach wéi déi virdrun. Mat der scho bekannt Formule, ass et néideg der Total vun drësseg Plazen fofzéng Bänn ze berechnen.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Äntwert, wäert bzw. ginn, gläichberechtegt zu 202 843 204 931 727 360 000.

Elo huelt der Aufgab e bësse méi schwéier. Dir musst wëssen, wéivill et Weeër der drësseg-zwee Bicher iwwert d'Regaler, mam datt eréischt fofzéng Bänn op déi selwecht Regal wunnt kënnen ze plangen.

Virum Ufank vun der Decisioun géif gären klären, datt e puer vun de Problemer an e puer Weeër geléist ginn, an an deem et zwou Méiglechkeeten, mä an zwee eent an dat selwecht Formule ass applizéiert.

An dëser Aufgab, kënnt Dir d'Äntwert vun der viregter eent huelen, well do hu mer d'Zuel vun Mol berechent Dir dem Regal fir fofzéng Bicher a verschiddene Weeër ausfëllen kann. Et war A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Déi zweet Regiment vun der Formel Ëmbildung berechent, well et fofzéng Bicher gesat ass, während de Rescht vun fofzéng. Mir benotzen Formule P_15 = 15!.

Et stellt sech eraus datt d'Zomm gëtt A_30 ^ 15 ⋅ P_15 Weeër, mä, an zousätzlech, de Produit vun all den Zuelen aus drësseg zu siechzéng géif duerch de Produit vun der Zuel vun eent bis fofzéng, an um Enn vun engem bis drësseg de Produit vun all Zuelen Tour eraus Raum ze ginn, dass d'Äntwert ass ass 30!

Mä dëse Problem kann an eng aner Aart a Weis geléist ginn - einfach. Fir dëst ze maachen, kann Iech virstellen, datt et ee Regal fir drësseg Bicher. All vun hinne sinn op dësem Fliger gesat, mä well d'Konditioun verlaangt, datt zwee Regaler do waren, ee laang mer zu Halschent Seeaarbechten, zwee ausgeglach fofzéng. Vun dëser gëtt et aus, datt P_30 fir dës Unuerdnung = 30 gin kann!.

Beispiller vu Léisungen. D'Formel fir d'Zuel vun Kombinatioune vun

Wien ass eng Variant vun der drëtter Problem vun combinatorics considéréiert. Dir musst wëssen, wéivill Weeër ginn et fofzéng Bicher op der Konditioun ze Rendez datt dir aus drësseg genee déi selwecht wielen muss.

Fir d'Decisioun gëtt, natierlech, der Formel fir d'Zuel vun Kombinatioune gëllen. Vun der Conditioun datt et gëtt kloer, datt d'Commande vun der selwechter fofzéng Bicher net wichteg ass. Sou Ufank braucht Dir de Total vun Kombinatioune vun drësseg fofzéng Bicher ze fannen eraus.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Dat ass alles. Mat dëser Formule, an dem Korrespondent Zäit méiglech esou e Problem ze léisen, déi Äntwert, respektiv, gläich ze 155.117.520.

Beispiller vu Léisungen. Déi klassesch Definitioun vu Wahrscheinlechkeet

Mat der Formel uewen kritt, kann een eng Äntwert zu engem einfach Aufgab fannen. Mä et haut am Laf vum Aktioun gesinn an verfollegen.

D'Aufgab kritt, datt an enger Urn do sinn zéng komplett sëlwecht Bäll. Vun dësen, véier giel a sechs blo. Geholl vun der Urn ee Ball. Et ass néideg der Wahrscheinlechkeet dostavaniya blo wëssen.

Ze léisen de Problem ass et néideg dostavanie blo Ball Event A. ze bestëmmen kann Dës Erfahrung zéng Resultater hunn, déi, am Tour, Elementar- an gläich Chancen. An der selwechter Zäit, sechs vun zéng sinn gënschteg un der Manifestatioun A. léisen déi folgend Formule:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Kandidatur dës Formule, hu mir geléiert dass d'Méiglechkeet dostavaniya blo Ball ass 0.6.

Beispiller vu Léisungen. D'Wahrscheinlechkeet vun Evenementer Montant

Wien wäert eng Variant, déi mat der Formel vun Probabilitéit vun Evenementer Betrag geléist ass. Also kritt der Conditioun datt et sinn zwee Fäll, déi éischt eent ass gro a fënnef wäiss Bäll, während der zweeter - aacht gro a véier wäiss Bäll. Als Resultat, hunn déi éischt an zweet Këschte op ee vun hinnen geholl. Et ass néideg, fir erauszefannen, wat de Chancen sinn, datt d'Bäll sinn gro a wäiss gefeelt.

Fir dëse Problem léisen, ass et néideg Fall ze identifizéieren.

• Sou, A - mir hunn eng gro Ball vun der éischter Këscht: P (A) = 1/6.
• A "- wäiss ett och aus der éischter Këscht geholl: P (A) = 5/6.
• D'- schonn ofgebaut gro Ball vun der zweeter Conduit: P (B) = 2/3.
• B "- huet eng gro Ball vun der zweeter ageklemmt: P (B) = 1/3.

No de Problem ass et néideg, datt ee vun de Phenomener geschitt: AB 'oder' B. Mat der Formel, kréien mir: P (AB ") = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Elo der Formel d'Wahrscheinlechkeet vun multiplizéieren sech benotzt. Nächst, d'Äntwert op erauszefannen, braucht Dir hir Equatioun ze gëllen iwwerdribblen:

P = P (AB "+ A'B) = P (AB") + P (A'B) = 11/18.

Dat ass wéi mat der Formel, kënnt Dir esou Problemer léisen.

Resultat

De Pabeier war dem Informatiounen iwwert "Wahrscheinlechkeet Theorie" presentéiert, d'Wahrscheinlechkeet vun Evenementer, déi eng wichteg Roll spillen. Natierlech, ass net alles considéréiert, mä op der Basis vun der Text presentéiert, kënnt Dir Réimech mat dëser Agence vun Mathematik besser kréien. Als Wëssenschaft kann net nëmmen am professionelle Betrib, mä och am Alldag nëtzlech ginn. Dir kënnt et benotzen keng Méiglechkeet vun engem Evenement ze berechnen.

Den Text gouf och duerch bedeitendst Datumen an d'Geschicht vun der Entwécklung vun Wahrscheinlechkeet Theorie als Wëssenschaft, an d'Nimm vun Leit deenen hir Wierker goufen an et huet betraff. Dat ass wéi mënschlech Virwëtz huet zu der Tatsaach gefouert, datt d'Leit, och zoufälleg Evenementer ze zielen geléiert hunn. Eemol si just interesséiert an dësem, mee haut ass et schon zu all bekannt. A kann keen soen, wat eis an Zukunft geschéie wäert, wat aner schéi Entdeckungen op d'Theorie ënner Rücksicht dinn, géif engagéiert ginn. Mä eng Saach ass sécher - der Etude nach net Wäert ass et!